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O e$ R! J0 e6 @" D5 f 2021五一杯数学建模B题消防救援问题 3 K1 d! m; t3 A( M, a
消防救援问题 1 R+ B$ r2 u" t" a; Q% _1 S
随着我国经济的高速发展，城市空间环境复杂性急剧上升，各种事故灾害频发，安全风险不断增大，消防救援队承担的任务也呈现多样化、复杂化的趋势。对于每一起出警事件，消防救援队都会对其进行详细的记录。
, V! w" V/ t1 Y' n5 E' Y: C 某地有15个区域，分别用A、B、C…表示，各区域位置关系及距离如图1所示，各区域的人口及面积见附件1，该地消防救援队出警数据见附件2。
1 S* t8 Q( F& m 请依据该地的消防出警数据，建立数学模型，完成以下问题： . }4 j4 c3 } v7 w! k: p
问题1：将每天分为三个时间段（0:00-8:00为时段Ⅰ，8:00-16:00为时段Ⅱ，16:00-24:00为时段Ⅲ），每个时间段安排不少于5人值班。假设消防队每天有30人可安排值班，请根据附件数据，建立数学模型确定消防队在每年2月、5月、8月、11月中第一天的三个时间段各应安排多少人值班。
' v3 C# b/ }/ h* w 问题2：以该地2016年1月1日至2019年12月31日的数据为基础，以月份为单位，建立消防救援出警次数的预测模型；以2020年1月1日至2020年12月31日的数据作为模型的验证数据集，评价模型的准确性和稳定性，并对2021年各月份的消防救援出警次数进行预测，完成表1。 2 V$ A! ^8 T" g8 S/ d- Z
问题3：依据7种类别事件的发生时间，建立各类事件发生次数与月份关系的多种数学模型，以拟合度最优为评价标准，确定每类事件发生次数的最优模型。
; ] j/ h) W7 F s 问题4：根据图1，请建立数学模型，分析该地区2016-2020年各类事件密度在空间上的相关性，并且给出不同区域相关性最强的事件类别（事件密度指每周每平方公里内的事件发生次数）。 + M3 M* u4 e+ s0 Q* u7 @
问题5：依据附件2，请建立数学模型，分析该地各类事件密度与人口密度之间的关系（人口密度指每平方公里内的人口数量）。 0 L/ }& s1 U0 U( t' B k$ a+ ]
问题6：目前该地有两个消防站，分别位于区域J和区域N，请依据附件1和附件2，综合考虑各种因素，建立数学模型，确定如果新建1个消防站，应该建在哪个区域？如果在2021-2029年每隔3年新建1个消防站，则应依次建在哪些区域？
0 R6 m5 G6 @' K/ Y; x$ O
8 D$ |4 _6 {0 b% F! U) E 问题分析： / E H. a9 h# i/ c
针对问题 1，关于确定人数值班问题，首先筛选并统计出 2020 年、2019 年、
0 m: ~% Y; b: g! K4 a5 k 2018 年、2017 年、2016 年的 2 月、5 月、8 月、11 月的第一天的三个时间段的出警次数，通过灰色预测方法得到每年的这 2 月、5 月、8 月、11 月这四个月第一天的三个时间段出警次数的预测数据。在对三个时间段各分配 5 人的基础上，根据每个
3 _" G2 A. _+ a- D 月第一天的三个时间段对应的权重比例对剩余 15 人进行合理分配，计算出人员分配的人数。
5 B) d' ^# G) h8 d& a1 @ 针对问题 2，我们引入 ARIMA 预测模型，利用差分法对数据进行平稳性处理， 使得模型更加稳定和准确，对模型的检验我们采用平稳性 R 方与显著性检验。 * g; h# Z7 P, N1 | H% B8 q9 w
针对问题 3，我们选用了插值拟合和 ARIMA 两种模型，以此来建立各类事件发生次数与月份的关系。
0 j6 u- B) j( F 针对问题 4，我们首先绘制散点图判断出各类事件在空间上具有相关性，为了直观表示各指标在不同区域之间的相关性，采用皮尔逊系数进行直观展示。
: J( w, P$ r8 j$ J6 U- K 针对问题 5，我们首先绘制散点图判断出人口密度与事件具有线性关系，由此可以采用灰色关联模型进行分析。
+ E. d! ?- u' t' R* r 针对问题 6，选择消防站需要考虑的因素最多的就是平均出警距离，所以在本问题中我们选择出警距离作为建立消防站的唯一评判因素。利用 Dijkstra 算法计算各区域之间的最短距离，计算在区域 J 和区域 N 以外的 13 个区域新增一个消防站后的平均出警距离，取新增后平均出警距离最小的区域作为建消防站的区域。
# V; l2 p U- l1 A. K# p' d) K " O9 |; \; ?& j" Z |8 Q2 r
load 'xx.mat' n=length(y); yy=ones(n,1);
: ?" q5 H. L2 \' d yy(1)=y(1); 4 y) h( u3 l% V) c! d) y$ D
for i=2:n - U x* g3 U& }- Y0 H9 B
yy(i)=yy(i-1)+y(i) . V+ M6 ?4 l5 m
end * s8 M$ y, C" R% l9 s/ H
B=ones(n-1,2);
& K- f3 G' _. U* U# i for i=1 n-1) 1 n `6 W I; b5 ~' x
B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2; B(i,2)=1;
. U! Q( v& i3 N2 Y2 x% L, ^ end BT=B'; for j=1n-1)
: k- F4 n! H+ T, }6 a+ c7 A$ w YN(j)=y(j+1);
" y y7 J8 A. X- k/ |( j end YN=YN';
; c. I( R: Q( l+ v( [ z& @! I0 V A=inv(BT*B)*BT*YN; a=A(1);
7 T" \$ c. s' r' s u=A(2); . n! G* c q8 B( m; ]
t=u/a; * U9 _) C+ ]& z/ p) l3 x8 w3 G& O# \
t_test=input('输入需要预测的个数'); i=1:t_test+n; 8 M. k c+ }( X
yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; yys(1)=y(1); 8 ?# V; b* N, A* J8 B2 [) |
for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1);
9 j# D+ X/ {' | end x=1:n;
6 c. I8 z5 k, Q% z xs=2:n+t_test; yn=ys(2:n+t_test); ) n& [: y$ o" n; N5 m
plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b'); det=0;
6 ^' R1 R& y4 i1 U for i=2:n ( d# A5 o+ a$ ]6 K/ h
det=det+abs(yn(i)-y(i)); ' [; G4 s7 \1 {( i; ]
end det=det/(n-1); 7 Q) W" z/ q- f. R8 W- j$ S
disp(['百分绝对误差为：',num2str(det),'%']); @: n5 ?1 s% i
disp(['预测值为：',num2str(ys(n+1:n+t_test))]);
' h6 q e, K6 p2 G1 Y
4 V3 h/ _3 \8 S& @9 j |9 K1 s2 a: I" r: {0 t
2 o( i* f: J' V" Z
; q2 b! v' L* _. @, q | 
