MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

8 Q' m+ X( f A3 ~5 S. a

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

* {4 H0 c3 S% a8 X1 `: F

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

' V- l, ?/ o1 d* l: }7 s8 c

load count.dat

mx=max(count)

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

8 L. [( u. x) ]( m7 _

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

0 t# K5 ?' I. Z& z

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

+ l+ C( E8 }0 ~/ }. A

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

# {3 g& c8 F X* l) Y) X

cv=cov(count)

. p) Q! j7 x2 @% x$ Z

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

; w: j# \- P$ [* A/ I

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

' ?0 s: ~6 p, Y: c- f( E

cr =

" |( J& i! z6 E Y# I( C4 ^% W

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

' N: T b& U. |9 a% v

2、数据预处理

% p8 o6 I/ S8 [! X" k4 K# Q: p$ a

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

+ D5 D, P" T) u5 m. B

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

ans = 13 NaN 13

9 {& S9 T; R) D& V% Y

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

- w$ P4 K' w" W# k) |( s

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

. [- s5 c. F% y* z3 @) i

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

8 ^6 s9 t; c4 u9 J/ |

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

0 H2 V: r1 f7 ~/ W* G8 e( n. f

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

5 |& x" ~6 h2 y& g# y7 g) p

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

9 e7 S) y' O/ |* q9 V4 C5 y! S

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

! b6 z3 z1 P$ t6 w8 Q

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

2 t2 x7 o+ O6 x/ k7 }# a9 ]; H/ O

b=X2\y;

& x: H {$ e+ l: b; s; g1 |

T=[0:.1:2.5];

) j+ G/ `1 i* E& t! n

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

1 ]9 i! w( ?& S3 @ m

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

& [( V' {# J1 X# E# v7 o) j' V+ h. O) p2 S

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

2 v& j) U6 q% h* p: u5 S; }

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

0 Z' q" \" ]) J* n' ?

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

3 x7 S: {$ [- s: e! z( z

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

2 H" I+ T4 A0 ^% y0 Q0 U# U, a

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

! K1 y1 B$ A( L7 ]

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

. B; ~& e; q% I# N0 d! L2 L5 l

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

$ ]$ {7 [4 z6 a# Z

a=X\y

* a4 P& W' x9 T- ?% z) w4 ?

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

8 V" _- a' C- H* G( h

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

+ D9 N" C! ?$ p" x6 ~9 r

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

; U7 b" ^ V! l

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

0 L1 @' {' s J$ v+ v

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

K1 v. b7 m# W0 r/ g9 r M

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

' ^5 Q, o, L0 v' q' I+ c G

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

, j7 e" A1 p9 ?4 c# p5 Q9 n, c

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

3 Z: e( d. S0 G0 K8 O3 n, \

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

8 g0 \; X, \* X2 f3 q) [ R8 H

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

( @% o. {/ r7 k! m& Z S+ Z

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

$ M# p6 E- |0 f9 d9 b" W' K

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

, P( ~1 Y; Z& ?) D+ Y

load sunspot.dat

3 o6 h0 q8 M. e: g+ u

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

subplot(2,1,1)

' Q' s4 m9 y7 d9 i: t0 U

plot(year,wolfer)

& B3 X5 h- F1 x+ R$ x' N) ?

title(原始数据)

1 B( ?2 i* j4 K" ]. T

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

Y(1)=[];

7 `) ?$ J- ?' \

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

" z7 n. [# } b6 F s; r) i: _

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

2 K/ }; {& F& H3 J- s

period=1./freq;

, ]7 I% Z; F0 O

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

' ^$ O6 u+ {9 Z# _1 r

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

( Q3 w/ a* G |& l" Y

j$ C9 G* {3 {/ K, L

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

, i' N& G& `2 k. R) U. ~' G, ]8 O # ~! V, w' Q, w) Z- s ) v7 g( ]1 i. O5 ]