MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

7 G7 W' I& q V( l# o

mx=max(count)

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

6 n- f0 c% F8 Z0 ]" u0 g, ~ b$ v4 y

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

4 ]% S- _% T( w2 u% Q

1、协方差和相关系数

5 {5 T& {1 g N& v0 w# }5 o

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

, Z, |& c4 B0 E# n" ^

cv = 1.0e+003 *

/ G4 @. R, m5 t- F

0.6437 0.9802 1.6567

) T( D% u0 E% |4 Z

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

0 A' D8 ]0 @, g7 s/ y; c8 h

cr =

; Q0 t3 B& }2 G: l% t5 M4 d, F

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

4 I' H0 C$ a8 p5 [* ^2 F. v$ e" [

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

ans = 13 NaN 13

; t+ k. d9 |# O1 @) L

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

* y$ r( i% a3 F# Z. N

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

6 A: a% E9 d6 \

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

* Z% _* Q' s5 W. w1 E

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

+ [5 j7 L' W6 F: c8 i3 D. V

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

T j7 ^, \$ z2 I( n6 {* P

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

# D! V8 _. h) s* T% r% K( K3 r8 C0 F

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

% H# L8 G# G% B- v6 F( u! O9 |5 Q

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

% ]6 f: X7 B* M3 D1 N* c' ]7 I

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

& q4 E8 c: U6 i; s

a=X1\y;

6 W3 b3 G" Z: i3 d5 c/ _$ a" _

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

# e' K" m% e- z6 T; l9 R1 @

figure(1)

1 i* |+ h7 H' y( _& \

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

' t6 l) Z3 |: {9 X" p

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

/ o* I1 x* a, z- H' T" F/ m" z

title(指数函数回归)

" e/ [( H$ e, Z1 P" Q# b

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

/ v% J9 Z" v( ]7 v5 n

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

" b4 S$ S" K1 g' F

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

$ Q( |" h7 K5 Q) k B0 _ M* n

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

" s/ E7 V/ J+ j. j; l- Z1 R

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

% X5 ?2 v O1 h2 S" `. U2 b: E+ v

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

% E; b9 |0 _7 H* _: D/ {! w

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

* O! g% @) l, t, d6 v

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

6 [, q/ @& X+ r5 M0 Z/ m' z0 Q

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

( W( }+ I6 L: g9 @: x0 ]

y=fft(x);

m=abs(y);

( \# L! l/ C; u; |: l& A% u

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

9 ^" m7 b. L; Q3 J' ]: n. ?" ]& q5 D: s# @

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

: I/ a6 S( G8 j8 b. W0 p* `/ z

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

7 j+ ]: M' e) x. r% H4 _ S

y=fft(x);

m=abs(y);

+ Y7 m* C- [8 x q

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

5 j; N* L/ H: y* f0 e

figure(1)

8 [+ M1 h, A; K. a

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

/ p$ |* s' R" v% C0 M) O' u9 g9 K. S

title(信号检测)

1 T% s, M0 h' G5 X

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

2 P4 ?0 P8 ^ ?$ I B

subplot(2,1,2),plot(f,m)

+ ^9 h6 D$ f" Y, d

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

9 i, x6 f+ t% Q* j( H" a: c

xlabel(Frequency (Hertz))

+ r2 k) a; l9 d, l

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

; K. F7 `: @7 c# j5 y! j$ U

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

+ T/ w* ~# b I1 k% p: M, B) E% P

Y=fft(wolfer);

2 R* P- H t* k/ a9 y, [" K) j4 d

N=length(Y);

, m0 E* i0 n( @( h

Y(1)=[];

9 ]9 e" l" V8 N, f9 N

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

. h+ q5 T# r* P+ F

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

: e) j! T7 |3 b8 h8 J8 o! J2 z* \: M

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

! }' z( E/ k! ]0 _1 C

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

8 w5 p1 q5 U8 E( V8 O2 J ~" e' J# n" ?: j+ R0 ] 8 Z* ~/ n) ^. p1 `1 M