MATLAB应用——数据分析与统计

5 l K/ a9 d) J( e- n

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

, S9 t- l+ }* ?& T$ I2 C

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

Z( I! B$ \# D- T, W

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

; P2 B. }; n8 e3 I

load count.dat

mx=max(count)

3 v2 R8 J9 y! }. o7 ^! K

mx = 114 145 257

: t: \% q% ~/ ?8 s: J

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

s" C4 S' j8 _" ^& {

sigma=std(count)

$ I% k' j! @3 j

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

2 A* v. o, f9 _5 r# n" ?8 J

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

0 o. {/ b) j$ R- x6 Z" t

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

2 s7 p* f& T* O7 \' p- ^2 v5 ?

cr=corrcoef(count)

. h) ?/ ?' Q: I' I3 j4 u

cr =

, O `4 f6 N) T, n

1.0000 0.9331 0.9599

2 a& V4 \3 T) P% s

0.9331 1.0000 0.9553

5 g' T6 ^; x3 i9 F! i

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

' ^% O* Y6 J3 H

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

* P+ \+ l9 d3 ?- y& k0 w

sum(a)

ans = 13 NaN 13

8 z4 S4 H( x# r5 P# y. m7 r

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

. ^, M$ L$ g6 f( S

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

% U e- o! V+ p4 T

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

( H w) w7 O% Z, n

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

5 {4 l( a9 O! ?! O7 k7 c6 ^2 x @! V

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

) v+ }0 R7 f* S( k6 v/ O3 F

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

; K! ?' L8 Z' q& v I; u+ d+ b" Y

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

3 ?3 E% {% O2 B- B6 q: N3 i

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

$ |/ r3 u( j" i' T: z9 C# l

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

9 u% c7 u& N: R+ y$ N! X( a0 u

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

4 X& p3 `, b# a4 W

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

& b4 e- `) Q. b5 |$ g/ d+ ]! u6 w

a=X1\y;

: i: @. n! i5 q. U, B

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

4 p. p3 q d, m5 D

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

5 p3 B, q. ~6 _, }! M o& m

subplot(1,2,1)

$ y" d6 p. b3 f' d, k( ^1 M1 X6 R

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

6 H6 `0 F/ m% k$ s

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

- w* F7 J0 ]+ H6 R' ^$ W6 C

title(指数函数回归)

. D( D. f: c) O$ J4 E; f. @$ R2 n

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

6 Z- [- u. o, T3 D

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

% A4 d4 M7 I! m5 t! w9 P' T. W9 ^. K

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

& I w) n$ E+ l9 ^2 c

采用来拟合，则有

3 c$ S1 r' p$ N' x% r' _" R

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

4 S3 a: z" C# E- w. |9 c! V( d

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

1 M+ Z) a }5 J- u- u+ x: _

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

y5 i/ |) ^5 l2 ~

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

- E5 D% J- O/ z2 L, L( ]6 r; P

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

) e4 k' x8 @! n7 H6 F

t=0:1/119:1;

# I7 g; |: p. N# S' f6 b2 E2 ^7 V% S

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

+ V# J2 U6 E6 U) h2 ~- p" w7 \

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

5 @! R+ o& M9 g/ z) e- O% }; q

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

* C2 z4 I! U$ _: _/ p, }

title(多频率混合信号)

- a( H$ K5 t- R8 i' |

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

( h( L8 c& k0 E! O' e

subplot(2,1,2),plot(f,m)

) L& L) b2 A+ \+ J7 y

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

0 W3 F; X2 d' ^2 D% T7 H8 G) `5 I

xlabel(Frequency (Hertz))

" G0 i; \# B8 K/ u8 z8 Z

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

q& J; J q' E# S* F* V; C

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

: N* R+ q3 k; R D

y=fft(x);

m=abs(y);

' I* a/ ^8 s+ ]4 {% b2 X) q0 R

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

6 L2 ]5 H. G; i& q8 E+ Z

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

) A i8 B _2 O. I6 J! ~

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

^4 n" p% b! i2 }' H/ x

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

2 B8 Y# k! J- z; L

8 z# o( n: l4 y _3 Q2 k0 F

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

$ w. _1 D: i, q8 t

load sunspot.dat

% H6 t/ i# O% ~" h6 L

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

3 _4 c* }5 O2 G" p

subplot(2,1,1)

5 ?" t% ?, S. F$ c

plot(year,wolfer)

' @6 Z1 c- Y5 N4 r" a+ R3 w: c' B

title(原始数据)

{' n) r; g$ @3 g& O2 q! d3 N

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

8 p, _0 m3 p* T" J- D% V: U1 J

Y(1)=[];

1 M8 }% d J" m0 J

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

" p. h2 y# L! `% B: h% w" O

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

3 C6 }3 q4 W" O: P

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

* v! Z! |* R2 R! q$ ^

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

0 e8 n/ m, I# j& ~3 H/ Q; `; j

axis([0 40 0 2e7])

' w. C% ~: K& k3 m

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

; f- f5 S. b3 D+ b$ ~9 @* P 4 O! F! [- @) A! R+ x2 q