流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：1 u3 w8 b$ \; I3 E* z& f a: H
5 r! [6 K, k& r* G. F2 Q' Q4 q" X+ j5 {2 M2 Y' c5 n \# n$ [
/ b2 f+ H' {4 E' Q( q k k( J9 f1 F, _7 ]9 J. v2 }1 `$ K) i
5 `$ o* M* F9 j0 `
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。6 _4 ], T4 `5 d( y$ W9 Q8 |
我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求
& U6 Z8 d: g1 W8 L- d' T0 g! w+ k 实际就是求积分），我们可以设: 3 o, m* H7 H7 E& `5 {
* G4 d* j, w, M# Z2 C6 @
) e r" r, p @8 X1 _从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：
4 z' t7 H% [; }6 ~3 J: Q& z+ b" W2 u) b
, @1 w) z& N! }& O& a" r
9 R; D; _( E! E7 C. ]6 k+ }5 x Q
S' l0 H/ t% T. w6 }
: |8 S4 Z* o! _, Q% Q& S左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即： 0 O* P1 v9 \. u C! f: y- {
7 C ?& j; i+ J4 c! A现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：
+ S$ p: N* l" i) H5 G$ Q, R6 Y0 N, M- C8 l
6 X, ~- D; F' L8 P/ F
, J! I2 ]9 \* T$ p; L
最终有：
8 s- A/ K0 Z3 z9 k- @0 L+ B4 P% A6 S: T- I4 I4 l9 S- |6 f
2 o9 ]; b3 v1 C7 n8 g0 C
或者可在 中令 代入 ，有：" T; I" r1 x V, b
/ J3 f4 d5 t+ I2 s0 b. l. ^. G! g# t) {
8 \: x, r3 \& b8 p/ `0 o
这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。1 t7 l- @5 b& m5 c: w! E
, e+ F' a: O# P1 @" S
值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。
0 p0 G% \& y9 s7 Z
3 ~( n% I: k0 r |
