流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：# v% c5 e3 U# v+ n
1 b& \1 U0 A& d9 x- G& F; O
- j K+ U# Z9 z+ w
2 _- R6 p# ]; Y- {# b6 V; w0 |, E& e- ~6 n* j4 l
* ?5 F8 A( n- M4 ^: G7 p( X这样二维平面上的连续方程就能自动满足。
- h2 ^; a6 U$ B4 `我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求
) r, ?9 Z6 Z) z' V% X0 ~* _& ]" r 实际就是求积分），我们可以设: : y) ]* R, k, w% j. p; {$ y
& ^$ i) a. e( [8 E: I7 ]- R6 b- H( ?0 _; C8 o5 }) N3 c
从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：
2 v( t M6 K- q- y7 l9 T. S1 f4 D T1 P! I$ ]% Z1 i! h
& S/ n' U2 @0 [; y1 y. H; b7 f# r; u7 j2 v2 ~# L+ K
0 {% [: V- `+ [" h: \) i3 W# Q! q6 i/ {/ U+ ]( A/ c
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即：
7 F9 Y5 _- C M; m
4 a( g9 y9 y, Y6 e5 \现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果： }) h J: ~( C# F: K6 g/ y
0 g7 j$ v/ t: S2 r- ^# w
, N, U& l9 ~- Y/ n: V u5 f! \+ v- I( f6 g" E7 z" A5 f
最终有：/ p/ @$ u% f. p: F9 I$ g
! |# _1 J0 Z, w. X
1 }" U! r& x+ n) V: t
或者可在 中令 代入 ，有：( A9 k- x' n2 k! F+ z/ P7 p
) u7 \( W- S) z& O3 K( l1 b7 d1 {, L
6 ~" E$ `0 O2 d. l! P
# f5 C! z! b: v' E这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。8 B% {9 q- V# H! j- @/ e
0 s5 w9 i6 B1 D8 O5 {9 ?
值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。
, _7 b, H% L3 a( \2 o1 H) C! J
. G) C, S: Q& l/ }2 Q: a$ S |
