流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：* [, I a7 }( ]5 n, c
* b. X% ~# ^( `
# L0 i( f+ A* L8 ]' f& |
3 E& M2 a: e" F9 p5 f' P) k. }- i
' k( c2 V' U: j: a. A# {; _1 ~. S; ], J6 L
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。8 J! M, L, o/ T) b7 f, J
我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求 - v" ]+ H3 T) N' y3 Y+ @
实际就是求积分），我们可以设: 8 @4 w! I* G, y+ C- s6 I% {2 p
) Q. x. o- o8 m- p, A4 ~1 n, b d$ F# @5 C8 p1 [4 E8 k U2 W& X
从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：
+ ]# p2 w. \2 p7 f% T# v& p# X1 U) r% k: K, \7 t
8 k# A1 E1 Q" d( r s
$ [( b% N" _5 @# ?9 ?9 F
9 O" T" e* q$ p0 B) T
( c+ `$ c7 x) W左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即： + H( |1 a/ b$ w8 n7 \+ d- M4 m6 S0 D
0 B% o8 G9 t& M e% M
现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：% @4 `: L5 ^: {4 t
5 J3 [1 P( n, A2 Q" s2 n% }( i2 W: y# Y$ F6 \1 }
8 L( t, C( R' ~5 X- Q' y- Z P, T: h最终有：
8 }; A1 g6 q: ~# i" C( F: o, k7 t5 F0 i0 |! U" g4 G% L
! J5 r) j- {, _# C或者可在 中令 代入 ，有：% _5 p! I( k# y$ M' c
5 n8 b0 V; {8 b' A! u6 Z7 l& u+ L" M5 k& {; X' D! a& z+ A- |% e! Z- o) c
8 E7 O! A1 k3 ?+ B% e
这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。
% T) E! K; s' \' U7 q3 J7 W$ C4 e5 V# j
值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。
! J; u/ k: q1 A! S3 x0 m/ u( k; n& p% H' P7 {
|
